Выходец из купеческой семьи. Основатель одной из первых нотариальных контор. В период его работы деятельность городской думы усложнили сильное наводнение, эпидемия тифа и проблемы в отношениях с губернской властью. В соответствии с новым городовым положением полномочия органов местного самоуправления Харькова были досрочно прекращены в 1893 г.
В. П. Щелков родился в 1835 г. в Харькове в известной местной купеческой семье. Воспитанник 2-й харьковской гимназии. Окончил Харьковский университет со степенью кандидата естественных наук. С 1857 г. работал помощником библиотекаря в университете, а в 1860 г. поступил на службу по гражданскому ведомству в качестве чиновника для особых поручений, а затем асессора Харьковской палаты государственных имуществ.
В 1862 г. был назначен надзирателем акцизного сбора Харьковского акцизного управления. В 1868 г. оставил государственную службу и одним из первых организовал частную нотариальную контору в Харькове, свыше двух десятилетий пользовавшуюся безукоризненной репутацией в деловых кругах города и губернии.
В 1883 г. В. П. Щелков впервые вошел в состав Харьковской городской думы. В 1892 г. 46 голосами против 21 он был избран на должность Харьковского городского головы. У думы и управы этого созыва были проблемы во взаимоотношениях с губернской администрацией, осложняли ее деятельность и трудности экстраординарного порядка: эпидемия тифа, наводнение в результате разлива рек Лопани и Харькова.
Стремление государственной власти как можно быстрее ввести в действие Городовое положение 1892 г. привело к досрочному окончанию полномочий думы и В. П. Щелкова как городского головы. В новом составе городской думы он был избран в апреле 1893 г. на должность заступающего место Харьковского городского головы. Подал в отставку по собственной инициативе в 1900 г. вместе с городским головой И. Т. Голенищевым-Кутузовым.
С января 1892 г. член правления Харьковского общества исправительных приютов, в 1893-96 г.г. член попечительных советов Харьковской Мариинской женской гимназии, Харьковской женской прогимназии. В 1895 г. был избран почетным мировым судьей.
Умер 12 июня 1902 г. в своем имении в Орловской губернии.
Был награжден орденами Святого Станислава 2-й степени, Святого Владимира 4-й степени, Святой Анны 3-й степени, медалью в память императора Александра III.
В 1900 г. городское общественное управление Харькова пережило первый кризис руководства. Городской голова И. Т. Голенищев-Кутузов подал в отставку. Вместе с ним ушел со своего поста и его заместитель В. П. Щелков.